以下是Chrome浏览器插件支持后台运行模式的相关内容：
1. 通过特定脚本或页面设置：如果插件有background脚本或页面，并且persistent不是设置为false，也就是使用了新的event_page，那么该插件就可以一直在后台保持运行状态。比如一些需要实时监测网页变化或系统状态的插件，通过这种方式能在后台持续运行，随时响应相关事件。
2. 利用事件API处理：可以选择合适的事件API来处理“每次访问一个网页”等事件，使插件在后台根据这些事件做出相应反应，实现类似后台运行的效果，以满足不同的功能需求，如自动填充表单、广告拦截等功能的实现。
3. 基于Service Worker：相较于manifest V2，manifest V3的插件后台使用Service Worker代替之前的Background Script。Service Worker运行于浏览器主线程之外，这使得浏览器插件只在需要时才得以运行，从而节省资源。例如，一些需要在后台定时执行任务或处理特定事件的插件，可通过Service Worker来实现高效的后台运行模式。
总的来说，通过以上方法，您可以在Chrome浏览器中实现插件的后台运行模式。建议根据自己的需求选择合适的方法，并定期检查和更新插件设置，以确保功能的正常使用。