Google浏览器插件本身无法直接开启后台运行模式，但可以通过以下方法让插件在浏览器关闭后继续运行：
1. 使用特定插件：部分插件具备在浏览器关闭后继续运行的功能，例如一些下载管理插件、音乐播放插件等。安装这些插件后，按照插件的使用说明进行设置，即可实现后台运行。
2. 通过浏览器设置（适用于部分情况）：打开谷歌浏览器，点击右上角的菜单按钮（三个竖直点），选择“设置”。向下滚动到页面底部并点击“高级”，展开更多高级设置选项。在“系统”部分，找到“后台应用”选项，确保该选项已开启。这样可以使浏览器在关闭后仍保持后台运行，某些插件可能借此实现后台运行。
3. 利用操作系统任务计划程序（以Windows为例）：按下Win+R键，打开“运行”对话框，输入“taskschd.msc”并回车，打开任务计划程序。在任务计划程序中，点击“创建基本任务”，为任务命名，如“Chrome插件后台运行”。在“触发器”步骤中，选择“当计算机启动时”或“每天”等合适的触发时间。在“操作”步骤中，选择“启动程序”，浏览并找到Chrome浏览器的可执行文件路径（通常为“C:\Program Files (x86)\Google\Chrome\Application\chrome.exe”）。在“完成”步骤前，点击“条件”选项卡，取消勾选“仅当计算机使用交流电源时启动任务”（如果不需要此限制），确保任务在后台运行。点击“确定”保存任务。
需要注意的是，并非所有插件都支持在浏览器关闭后后台运行，具体取决于插件的功能和设计。同时，过多的后台运行程序可能会占用系统资源，影响计算机性能。